凸函数与凸体的卢津型性质

我们证明：若 $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ 为凸函数且 $A\subset\mathbb{R}^n$ 具有有限测度，则对任意 $\varepsilon>0$，存在一个 $C^{1,1}$ 类的凸函数 $g:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$，使得 $\mathcal{L}^n(\{x\in A:\, f(x)\neq g(x)\})<\varepsilon$。作为一个应用，我们推得：若 $W\subset\mathbb{R}^n$ 是一个紧凸体，则对每个 $\varepsilon>0$，存在一个 $C^{1,1}$ 类的凸体 $W_{\varepsilon}$，使得 $\mathcal{H}^{n-1}\left(\partial W\setminus \partial W_{\varepsilon}\right)< \varepsilon$。我们还证明：若 $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ 为凸函数且 $f$ 不属于 $C^{1,1}_{\rm loc}$ 类，则对任意 $\varepsilon>0$，存在一个 $C^{1,1}_{\rm loc}$ 类的凸函数 $g:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ 使得 $\mathcal{L}^n(\{x\in \mathbb{R}^n:\, f(x)\neq g(x)\})<\varepsilon$ 当且仅当 $f$ 是本质强制的，即存在线性函数 $\ell$ 使得 $\lim_{|x|\to\infty}f(x)-\ell(x)=\infty$。该结果的一个推论是：若 $S$ 是 $\mathbb{R}^n$ 中某个具有非空内部（不必有界）的凸集的边界且 $S$ 不包含任何直线，则对每个 $\varepsilon>0$，存在一个 $C^{1,1}_{\textrm{loc}}$ 类的凸超曲面 $S_{\varepsilon}$，使得 $\mathcal{H}^{n-1}(S\setminus S_{\varepsilon})<\varepsilon$。