$1$-jet 的全局几何与 $C^1$ 凸延拓

设 $E$ 为 $\mathbb{R}^n$ 的任意子集（不一定有界），$f:E\to\mathbb{R}$，$G:E\to\mathbb{R}^n$ 为函数。我们提供了 $1$-jet $(f,G)$ 具有延拓 $(F, \nabla F)$ 的充要条件，其中 $F:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ 为凸函数且属于 $C^{1}$ 类。此外，若 $G$ 有界，我们可以选取 $F$ 使得 $\textrm{Lip}(F)\lesssim \|G\|_{\infty}$。作为应用，我们还解决了一个类似问题，即在 $\mathbb{R}^n$ 的任意子集的点处具有给定法向量的 $C^1$ 类凸超曲面的存在性问题。