$C^1$ 与 $C^{1,\omega}$ 类凸函数的 Whitney 延拓定理

设 $C$ 为 $\mathbb{R}^n$ 的一个子集（不一定为凸集），$f:C\to\mathbb{R}$ 为一个函数，$G:C\to\mathbb{R}^n$ 为一个一致连续函数，其连续模为 $\omega$。我们给出了关于 $f$、$G$ 的充要条件，以使得存在一个凸函数 $F\in C^{1, \omega}(\mathbb{R}^n)$ 满足在 $C$ 上 $F=f$ 且在 $C$ 上 $\nabla F=G$，并且 $\nabla F$ 的连续模可用 $G$ 的连续模良好控制。另一方面，假设 $C$ 是紧致的，我们还解决了 $\mathbb{R}^n$ 上 $C^1$ 类凸函数的一个类似问题，并且能够良好控制延拓的 Lipschitz 常数（即 $\textrm{Lip}(F)\lesssim \|G\|_{\infty}$）。最后，我们给出了一个几何应用，涉及用 $C^1$ 或 $C^{1,1}$ 凸体的边界对 $\mathbb{R}^n$ 的紧子集 $K$ 进行插值，且在 $K$ 上具有给定的外法线。