关于 Banach 空间中的 $C^1$ Whitney 延拓定理

本文是对 M. Jiménez-Sevilla 和 L. Sánchez-González 近期文章 \cite{JS1} (2011) 与 \cite{JS2} (2013) 的补充，这些文章将 $\mathbb R^n$ 上 $C^1$ 光滑实函数的经典 Whitney 延拓定理（基本陈述）推广到某些 Banach 空间 $X$ 上的实函数情形 (\cite{JS1}) 以及从 $X$ 到 $Y$ 的映射情形 (\cite{JS2})。由于 \cite{JS2} 中的证明存在严重缺陷，我们在对 $X$ 和 $Y$ 的（可能）稍强假设下，给出了一个不同且更清晰的详细证明。我们的证明还给出了在关于 $X$ 和 $Y$ 的显著更弱假设下，从特殊集合（例如 Lipschitz 子流形或闭凸体）出发的延拓结果。此外，我们观察到，在某些情况下，将定义在闭集 $A\subset X$ 上的 $f$ 延拓得到的映射 $F\in C^1(X;Y)$ 可以在 $X\setminus A$ 上是 $C^\infty$ 光滑的（或 $C^k$ 光滑的，其中 $k>1$）。当然，这一改进结果仍弱于 Whitney 的结果（对于 $X=\mathbb R^n$, $Y=\mathbb R$），后者断言 $F$ 在 $X\setminus A$ 上甚至是解析的。进一步地，遵循 Whitney 的另一篇文章并利用上述结果，我们证明了从 $X$ 的开（“弱”）拟凸子集出发的 $C^1$ 光滑映射的延拓结果。延续上述文章，我们还考虑了当 $f$ 是 Lipschitz 映射时，关于 $F$ 的 Lipschitz 常数的问题。