关于定义在 Banach 空间闭子集上的向量值函数的光滑延拓

设 $X$ 和 $Z$ 为 Banach 空间，$A$ 为 $X$ 的闭子集，$f:A \to Z$ 为一映射。我们给出了获得 $C^1$ 光滑映射 $F:X \to Z$ 使得 $F_{\mid_A}=f$ 的充分必要条件，当满足以下条件之一时：(i) $X$ 和 $Z$ 为 Hilbert 空间且 $X$ 可分；(ii) $X^*$ 可分且 $Z$ 为绝对 Lipschitz 收缩核；(iii) $X=L_2$ 且 $Z=L_p$，其中 $1<p<2$；或 (iv) $X=L_p$ 且 $Z=L_2$，其中 $2<p<\infty$。