Banach 空间上光滑函数临界点的提取

设 $E$ 为无限维可分 Hilbert 空间。我们证明：对每一个 $C^1$ 函数 $f:E\to\mathbb{R}^d$、每一个满足 $C_f:=\{x\in E:\,Df(x)\; \text{不是满射}\}\subset U$ 的开集 $U$，以及每一个连续函数 $\varepsilon:E\to (0,\infty)$，均存在一个 $C^1$ 映射 $\varphi:E\to\mathbb{R}^d$，使得对每一个 $x\in E$ 有 $||f(x)-\varphi(x)||\leq \varepsilon(x)$，在 $U$ 外有 $f=\varphi$，且 $\varphi$ 没有临界点（$C_{\varphi}=\emptyset$）。这一结果可推广到 $E=c_0$ 或 $E=l_p$、$1<p<\infty$ 的情形。在 $E=c_0$ 的情形下，还可使得对每一个 $x\in E$ 有 $||Df(x)-D\varphi(x)||\leq\varepsilon(x)$。