Hilbert空间及其他Banach空间上Lipschitz函数的实解析逼近

设 $X$ 是一个具有分离多项式的可分Banach空间。我们证明存在 $C\geq 1$ (仅依赖于 $X$)，使得对每个Lipschitz函数 $f:X\rightarrow\mathbb{R}$ 和每个 $\epsilon>0$，存在一个Lipschitz、实解析函数 $g:X\rightarrow\mathbb{R}$，满足 $|f(x)-g(x)|\leq \epsilon$ 且 $\textrm{Lip}(g)\leq C\textrm{Lip}(f)$。即使当 $X$ 是Hilbert空间时，这一结果也是新的。此外，在Hilbert空间情形下，我们还证明 $C$ 可以取为任意大于1的数。