Lipschitz 自由空间的乘积及其应用

我们证明，给定一个 Banach 空间 $X$，其上的 Lipschitz 自由空间（记为 $\mathcal{F}(X)$）同构于 $(\sum_{n=1}^\infty \mathcal{F}(X))_{\ell_1}$。文中提出了一些应用，包括 Lipschitz 自由空间的 Pelczy\'ski 分解方法的非线性版本，以及 $\mathcal{F}(\mathbb{R}^n)$ 与任何可局部双 Lipschitz 嵌入到 $\mathbb{R}^n$ 且包含一个与 $\mathbb{R}^n$ 单位球 Lipschitz 等价的子集的紧致度量空间上的 Lipschitz 自由空间之间的同构识别。我们还证明，对于所有可分的绝对 Lipschitz retract 度量空间 $M$，若其包含一个与 $c_0$ 单位球 Lipschitz 等价的子集，则 $\mathcal{F}(M)$ 同构于 $\mathcal{F}(c_0)$。该类包含了所有 $K$ 为无限紧致度量空间的 $C(K)$ 空间（Dutrieux 和 Ferenczi 此前已使用不同方法证明了对于这些 $K$，$\mathcal{F}(C(K))$ 同构于 $\mathcal{F}(c_0)$）。最后，我们研究了某些度量空间的并集和商集上的 Lipschitz 自由空间，扩展了 Godard 的结果。