有限维 Lipschitz 自由空间的几何与体积积

本文旨在研究凸体 $B_{\mathcal F(M)}$ 的几何与极值性质，该凸体是有限度量空间 $M$ 所关联的 Lipschitz 自由 Banach 空间的单位球。我们研究 $\ell_1$ 与 $\ell_\infty$ 和，特别地刻画了使得 $B_{\mathcal F(M)}$ 为 Hanner 多面体的度量空间。我们还刻画了 Lipschitz 自由空间等距的有限度量空间。当 $M$ 的元素个数固定时，我们讨论体积积 $\mathcal{P}(M)=|B_{\mathcal F(M)}|\cdot|B_{\mathcal F(M)}^\circ|$ 的极值性质。我们表明，若 $\mathcal P(M)$ 在具有相同点数的一切度量空间中取极大，则 $M$ 中所有三角不等式均为严格成立且 $B_{\mathcal F(M)}$ 为单形的。我们还聚焦于使 $\mathcal P(M)$ 极小的度量空间，以及此类凸体类的 Mahler 猜想。