Lipschitz 自由空间与有限维空间子集

我们考虑关于有限维向量空间子集上的 Lipschitz 自由 $p$-空间 $\mathcal F_p$（其中 $0<p\leq 1$）的几何的两个问题。我们解决了一个公开问题，并证明若 $(\mathcal M, \rho)$ 是一个无限加倍度量空间（例如欧氏空间的无限子集），则对每个 $\alpha\in(0,1)$ 和 $0<p\leq 1$ 都有 $\mathcal F_p (\mathcal M, \rho^\alpha)\simeq\ell_p$。给出了空间 $\mathcal F_p ([0, 1]^d, |\cdot|^\alpha)$ 与 $\ell_p$ 之间 Banach-Mazur 距离的上界。此外，我们处理了源于 arXiv:2006.08018v1 [math.FA] 的一个问题，并阐明了 $p$、$d$ 对于从 $(K, |\cdot|_1)$（其中 $K=\bigcup_{Q\in \mathcal R} Q$ 是 $\mathbb R^d$ 中边长为 $R>0$ 的立方体集合 $\emptyset \neq \mathcal R \subseteq \{ Rw + R[0,1]^d: w\in\mathbb Z^d\}$ 的并）到其顶点上的 Lipschitz 自由 $p$-空间 $\mathcal F_p (V, |\cdot|_1)$ 的一个典范的、局部按坐标仿射收缩的 Lipschitz 常数的作用。