同构于其无限和的 Lipschitz 自由空间及其几何应用

我们给出了度量空间上的 Lipschitz 自由空间同构于其无限直 $\ell_1$-和的一般条件，并展示了若干应用。作为此类应用的例子，我们有相同有限维数的球与球面之上的 Lipschitz 自由空间是同构的，$\mathbb{Z}^d$ 上的 Lipschitz 自由空间同构于其 $\ell_1$-和，或者任意加倍度量空间的雪flake之上的 Lipschitz 自由空间同构于 $\ell_1$。此外，遵循 [E. Bru`e, S. Di Marino and F. Stra, Linear Lipschitz and $C^1$ extension operators through random projection, arXiv:1801.07533] 中的新思想，我们提供了一个自包含的基本证明：加倍度量空间上的 Lipschitz 自由空间在其超空间上的 Lipschitz 自由空间中被补，并且它们具有 BAP。包括关于加倍度量空间的结果在内的一切，都在更全面的 $p$-Banach 空间框架中加以探讨，这使我们能够领会 $p<1$ 与 $p=1$ 情形之间理论的相似与差异。