巴拿赫空间中的紧收缩与肖德尔分解

在我们的注记中，我们展示了可分的巴拿赫空间 $X$ 存在有限维分解（简称 FDD）与 $X$ 到 $X$ 中一个小的（在某种精确意义下）生成凸紧子集 $K$ 的 Lipschitz 收缩的存在性之间的密切联系。一方面，若 $X$ 容许 FDD，则我们构造到一个小的生成凸紧集 $K$ 的 Lipschitz 收缩。另一方面，我们证明若 $X$ 容许一个小的生成紧 Lipschitz 收缩核，则 $X$ 具有 $\pi$-性质。我们注意到，$\pi$-性质是否与 FDD 的存在性同构等价仍属未知。对于对偶巴拿赫空间这是成立的，因此我们的结果特别地给出了对偶巴拿赫空间 $X$ 的 FDD 性质通过到 $X$ 的小的生成凸紧子集的 Lipschitz 收缩的存在性来刻画。可以设想我们的结果将在巴拿赫空间的 Lipschitz 同构领域找到应用。我们的论证关键性地使用了 J. Bourgain 的粗 Lipschitz 映射的 Lipschitz 化，以及 V. Milman 的一个未发表的可补性结果。我们给出一个小的生成凸紧集的例子，它并非 $C[0,1]$ 的 Lipschitz 收缩核，尽管它包含于一个小的凸 Lipschitz 收缩核中且包含另一个这样的收缩核。在我们注记的最后部分，我们将同构希尔伯特空间刻画为那些每个凸紧子集都是 $X$ 的 Lipschitz 收缩核的巴拿赫空间 $X$。最后，我们证明在任何具有各方向一致凸（Uniformly Rotund in Every Direction）范数的巴拿赫空间中的凸紧集 $K$，通过最近点映射是包含它的每个有界集的一致收缩核。