二维集值映射的核心: 低维集值映射 Lipschitz 选择的存在性判据与高效算法

设 ${\mathfrak M}=({\mathcal M},\rho)$ 为度量空间, $X$ 为 Banach 空间。令 $F$ 为从 ${\mathcal M}$ 到 $X$ 中所有维数至多为 $m$ 的紧凸子集族 ${\mathcal K}_m(X)$ 的集值映射。我们与 Charles Fefferman 近期合著论文中的主要结果(被称为“Lipschitz 选择的有限性原理”)给出了 $F$ 存在 Lipschitz 选择的高效条件, 即存在 Lipschitz 映射 $f:{\mathcal M}\to X$ 使得对每个 $x\in{\mathcal M}$ 有 $f(x)\in F(x)$。我们在两种特殊情形下给出该结果的新另证。当 $m=2$ 时, 我们对 $X={\bf R}^{2}$ 证明之; 当 $m=1$ 时, 我们对所有 $X$ 的选择证明之。这两类证明都利用了集值映射 $F$ 的“核心”的一个简单迭代公式, 即映射 $G:{\mathcal M}\to{\mathcal K}_m(X)$, 其关于 Hausdorff 距离为 Lipschitz, 且对所有 $x\in{\mathcal M}$ 满足 $G(x)\subset F(x)$。我们还给出了从 ${\mathcal M}$ 到 ${\bf R}^{2}$ 中所有闭半平面族的集值映射存在 Lipschitz 选择的若干构造性判据。