$\mathbb{R}^n$ 中子流形低失真嵌入维数的下界

设 $\mathcal{M}$ 为装备欧几里得（弦）度量的 $\mathbb{R}^n$ 的光滑子流形。本文考虑存在双 Lipschitz 函数 $f: \mathcal{M} \mapsto \mathbb{R}^m$ 且其双 Lipschitz 常数接近于 1 的最小维数 $m$。主要结果根据 $f$ 的双 Lipschitz 常数以及 $\mathcal{M}$ 的 reach、体积、直径和维数对嵌入维数 $m$ 给出下界。这一新下界被用于证明 Eftekhari 与 Wakin（arXiv:1306.4748）先前利用随机矩阵给出的此类流形最小低失真嵌入维数的上界，在 reach 和体积依赖关系上达到近最优。这表明在降低流形数据的环境维数方面，随机线性映射几乎与最优可能的非线性映射一样高效。在证明主要结果的过程中，我们还证明了关于在压缩感知应用中具有受限等距性质（RIP）的非线性测量映射不可能取得更好效果的类似结果。