具有 Lipschitz 界的平移不变测量完备集

在图像与音频信号分类中,一个主要问题是构建在刚体运动乃至更一般的小微分同胚下不变的稳定表示。$\mathbb{C}^n$ 中信号的平移不变表示尤为重要。此类表示的存在性与经典不变量理论、压缩感知中的反问题以及深度学习密切相关。尽管已有大量文献,现有多数表示仍存在以下不足:i) 因高频存在而不稳定;ii) 不具判别性;iii) 投影到有限维子空间时非不变。在本文中,我们构造了 $\mathbb{C}^n$ 中信号在低维且对有限酉群作用不变的表示,作为特例,我们证明了对任意 $m\in\mathbb{N}$ 存在低维且完备的 $\mathbb{Z}_m$-不变表示。我们的构造给出了一个稳定的、具判别性的变换,并在维度上带有半显式 Lipschitz 界;这对应用尤为相关。利用代数几何的一些工具,我们定义了一个高维单射齐次函数。随后我们利用该嵌入的射影特性,并通过一个通用线性变换将目标空间显著降维。最后,我们引入{\it 非平行}映射的概念,我们的函数即具有此性质,并借此构造其 Lipschitz 修正。