在 Abel 子群平移下不变的 $L^2(G)$ 子空间

对于第二可数局部紧群 $G$ 及其闭 Abel 子群 $H$，我们给出了 $L^2(G)$ 中在 $H$ 左平移下不变的闭子空间的值域函数分类。对于族 $\mathscr{A} \subset L^2(G)$，该分类与一组条件相关联，在这些条件下，$\mathscr{A}$ 经 $H$ 平移后形成连续框架或 Riesz 序列。当 $G$ 为 Abel 群时，我们的工作依赖于纤维化映射；对于更一般的情形，我们引入了 Zak 变换的类比。这两种变换都将平移与调制交织在一起，并且都依赖于一个新的群论工具：对于闭子群 $\Gamma \subset G$，我们在右陪集空间 $\Gamma \backslash G$ 上构造一个测度，从而给出测度空间同构 $G \cong \Gamma \times \Gamma \backslash G$。在群设定之外，我们考虑了一个更一般的问题：对于测度空间 $X$ 和 Hilbert 空间 $\mathcal{H}$，我们研究了 $L^2(X;\mathcal{H})$ 中的函数族与 $L^2(X)$ 中的类基系统相乘，从而在 $L^2(X;\mathcal{H})$ 中产生连续框架或 Riesz 序列的条件。最后，我们探讨了与 Hern{\'a}ndez 等人引入的 LCA 群对偶可积表示之间的联系。