局部紧阿贝尔群上广义平移不变系统的重构公式

本文将广义平移不变系统的成熟离散框架理论与连续框架理论联系起来。为此，设 $\Gamma_j$ ($j \in J$) 为第二可数局部紧阿贝尔群 $G$ 的可数族闭余紧子群，并研究形式为 $\cup_{j \in J}\{g_{j,p}(\cdot - \gamma)\}_{\gamma \in \Gamma_j, p \in P_j}$ 的系统，其中生成元 $g_{j,p}$ 属于 $L^2(G)$，且每个 $P_j$ 为可数或不可数索引集。我们将此类系统称为广义平移不变 (GTI) 系统。许多熟悉的变换，例如小波、剪切波 (shearlet) 和 Gabor 变换，包括它们的离散和连续变体，都是 GTI 系统。在技术性 $\alpha$ 局部可积条件 ($\alpha$-LIC) 下，我们刻画了 GTI 系统构成紧框架和对偶框架从而产生 $L^2(G)$ 重构公式的条件。这将关于广义平移不变系统的结果（其中假设每个 $P_j$ 是可数的且每个 $\Gamma_j$ 是 $G$ 中的均匀格）推广到了具有不可数个生成元以及（不一定是离散的）闭余紧子群的情形。此外，即使在均匀格 $\Gamma_j$ 的情况下，我们的刻画也改进了已知结果，因为满足 $\alpha$-LIC 的 GTI 系统类严格大于满足先前使用的局部可积条件的 GTI 系统类。作为我们刻画结果的应用，我们获得了 $L^2(G)$ 上平移不变连续框架和 Gabor 框架的新刻画。此外，我们将看到 $L^2(\mathbb{R}^n)$ 中连续和离散小波及 Gabor 变换的容许性条件是同一组一般刻画方程的特例。