仿射Weyl-Heisenberg群的平移完备子群及其广义小波系统

n维仿射Weyl-Heisenberg群是一个通常参数化为 $G_{aWH} = \mathbb{T} \times \mathbb{R}^n \times \widehat{\mathbb{R}^n} \times \mathrm{GL}(n, \mathbb{R})$ 的李群，由作用于 $L^2(G)$ 的所有平移、伸缩和调制算子生成。它由Torresani及其合作者引入，作为讨论小波和时频分析以及可能的中间构造的通用框架。在本文中，我们关注 $G_{aWH}$ 的一类特定子群，即形如 $G = \mathbb{T} \times \mathbb{R}^n \times V \times H$ 的子群，其中 $V$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的子空间，$H$ 是 $\mathrm{GL}(n, \mathbb{R})$ 的闭子群。主要目标是确定能够保证相关反演公式存在的 $(V, H)$ 对，通过平方可积表示的概念。我们导出了一个与全仿射情形中著名的Calderón条件大致类似的可容许性准则，该条件对应于 $V = \{ 0 \}$。此类刻画的条件可以以多种方式 formulation 和证明，与仿射情形类似。然后我们将 $G_{aWH}$ 识别为n维Heisenberg群与辛群 $Sp(n,\mathbb{R})$ 的半直积的子群，该子群通过扩展的Metaplectic表示作用，并将我们的可容许性条件与基于Wigner函数的现有准则进行比较。最后，我们给出了二维和三维中的一系列新例子，以说明我们方法的潜力，并呈现了一些关于这些群的系统构造、分类和共轭的基础性结果。