下Ricci曲率、分支及均匀Reifenberg空间的Bi-Lipschitz结构

我们在这里研究极限空间$(M_\alpha,g_\alpha,p_\alpha)\stackrel{GH}{\rightarrow} (Y,d_Y,p)$，其中$M_\alpha$具有下限Ricci曲率边界且体积不坍缩。此类极限$Y$可能相当奇异，然而已知存在全测度子集$\cR(Y)\subseteq Y$，称为"正规点"，以及覆盖几乎正规点$\cap_\epsilon \cup_r\cR_{\epsilon,r}(Y)=\cR(Y)$，使得每个"Reifenberg集"$\cR_{\epsilon,r}(Y)$与流形之间存在Bi-H"older同胚。关于Reifenberg集的Bi-Lipschitz正则性一直是正在进行的问题。本文结果分为两个部分。首先我们证明每个集合$\cR_{\epsilon,r}(Y)$都可Bi-Lipschitz嵌入欧几里得空间中。相反，我们证明嵌入的Bi-Lipschitz性质是尖锐的。事实上，我们构造了一个极限空间$Y$，即使均匀Reifenberg的，即每个切锥$\RR^n$等距，但收敛到切锥在$Y$中以均匀速率，使得不存在任何$C^{1,\beta}$嵌入$Y$到欧几里得空间中对于任何$\beta>0$。进一步地，尽管$Y$具有强大的切向正则性，仍存在点$y\in Y$使得从$y$开始的每个对 minimizing 距离的测地线在$y$处以任意阶数分支。更具体地，给定"任意"两个单位速度的最小距离测地线$\gamma_1$,$\gamma_2$在$y$处以及"任意"$0\leq \theta\leq \pi$，存在序列$t_i\to 0$使得角$\angle \gamma_1(t_i)y\gamma_2(t_i)$收敛到$\theta$。