Δ-点及其对巴拿赫空间几何的启示

我们证明 Veeorg 最近构造的具有 Radon–Nikodým 性质且含 Daugavet 点的 Lipschitz 自由空间实际上是一个同构于 $\ell_1$ 的对偶空间。此外，我们通过证明存在一种超自反空间（以 $\ell_2$ 的重新赋范形式）具有 $\Delta$-点，回答了文献中的一个开放问题。基于这两个结果，我们能够对每个无限维巴拿赫空间重新赋范以具有 $\Delta$-点。接下来，我们建立了巴拿赫空间及其对偶中 $\Delta$-点存在性之间的强有力关系。作为一个应用，我们获得了关于 $\Delta$-点对巴拿赫空间渐近几何影响的精确结果。另外，我们证明如果 $X$ 是一个具有收缩的 $k$-无条件基且 $k < 2$ 的巴拿赫空间，或者如果 $X$ 是一个具有满足 Kadets–Klee 性质的对偶的 Hahn–Banach 光滑空间，则 $X$ 及其对偶 $X^*$ 都不含 $\Delta$-点。特别地，我们得到没有 Hahn–Banach 光滑预对偶的 Lipschitz 自由空间含有 $\Delta$-点。最后我们给出了 Lipschitz 自由空间中作为 $\Delta$-点的分子的纯度量刻画，并解决了一个关于 Lipschitz 自由空间中有限支撑 $\Delta$-点表示的开放问题。