Banach-Finsler流形上Lipschitz函数的光滑逼近与光滑延拓问题

考虑一个黎曼流形 $M$（可分或不可分）。我们证明，对于每个 $\epsilon>0$，每个 Lipschitz 函数 $f:M\rightarrow\mathbb R$ 都可以被一个 Lipschitz、$C^1$ 光滑的函数 $g$ 一致逼近，且满足 $\Lip(g)\le \Lip(f)+\epsilon$。作为推论，每个黎曼流形都是一致可凸的。这些结果是在以 Banach 空间为模型的 $C^\ell$ Finsler 流形背景下给出的。我们给出了 Finsler 流形 $M$（以及 $M$ 建模所在的 Banach 空间 $X$）上的充分条件，使得每个 Lipschitz 函数 $f:M\rightarrow \mathbb R$ 都可以被一个 Lipschitz、$C^k$ 光滑的函数 $g$ 一致逼近，且满足 $\Lip(g)\le C \Lip(f)$（其中 $C$ 仅依赖于 $X$）。本文还给出了这些结果的一些应用，以及在可分情形下对满足上述逼近性质的 $C^\ell$ Finsler 流形类的一个刻画。最后，我们给出了 $C^1$ Finsler 流形 $M$ 和 $X$ 上的充分条件，以确保定义在子流形 $N\subset M$ 上的每个实值函数 $f$ 存在 Lipschitz 且 $C^1$ 光滑的延拓，前提是 $f$ 在 $N$ 上是 $C^1$ 光滑的，并且关于 $M$ 诱导的度量是 Lipschitz 的。