用 Hilbert 流形上无临界点的光滑映射一致逼近连续映射

我们证明，从可分无限维 Hilbert 空间 $X$ 到 $\mathbb{R}^{m}$ 的每一个连续映射都可以被 $C^\infty$ 光滑映射（无临界点）一致逼近。这类结果可被视为 Morse-Sard 定理的一种非常强的逼近版本。主定理的一些推论如下。 $X$ 的任意两个不相交闭子集都可以被一个余一维光滑流形分离，该流形是某个无临界点光滑函数的水平集；这一事实可看作 Hahn-Banach 定理几何版本的非线性类比。特别地，$X$ 中的任意闭集都可以被开集一致逼近，而这些开集的边界是 $X$ 的 $C^\infty$ 光滑余一维子流形。最后，由于每一个 Hilbert 流形都微分同胚于该 Hilbert 空间的一个开子集，若用任意以 $X$ 为模型的光滑流形 $M$ 替换 Hilbert 空间 $X$，所有这些结果仍然成立。