巴拿赫空间之间连续映射的无临界点光滑逼近及集合的微分同胚提取

设 $E$、$F$ 为可分的希尔伯特空间，并设 $E$ 是无限维的。我们证明对每一个连续映射 $f:E\to F$ 和每一个连续函数 $\varepsilon: E\to (0, \infty)$，存在 $C^{\infty}$ 映射 $g:E\to F$ 使得 $\|f(x)-g(x)\|\leq\varepsilon(x)$，且对每一个 $x\in E$ 有 $Dg(x):E\to F$ 是满射线性算子。我们还给出了该结果的一个版本，其中 $E$ 可替换为来自一大类（包括所有具有光滑范数的经典空间，如 $c_0$、$\ell_p$ 或 $L^{p}$，$1<p<\infty$）的巴拿赫空间，而 $F$ 可取为任意存在从 $E$ 到 $F$ 的有界线性算子的巴拿赫空间。特别地，对此类 $E, F$，每一个连续映射 $f:E\to F$ 都能被光滑开映射一致逼近。证明的一部分给出了具有独立意义的结论，改进了关于巴拿赫空间或希尔伯特流形上闭集的微分同胚提取的某些已知定理。