关于 Banach 空间上连续凸函数的整体形状

我们对定义在 Banach 空间 $Z$ 上的连续凸函数的整体形状作若干评注。除其他结果外，我们证明若 $Z$ 可分，则对每一连续凸函数 $f:Z\to\mathbb{R}$，存在 $Z$ 的唯一闭线性子空间 $Y_f$，使得对于商空间 $X_f :=Z/Y_{f}$ 与自然投影 $\pi:Z\to X_f$，函数 $f$ 可写为如下形式：$$f(z)=\varphi(\pi(z)) +\ell(z) \textrm{ 对所有 } z\in Z,$$ 其中 $\ell_{f}\in X^{*}$ 且 $\varphi:X_f\to\mathbb{R}$ 为凸函数，满足对每一 $x, v\in X_f$ 且 $v\neq 0$ 有 $\lim_{t\to\infty}\varphi(x+tv)=\infty$。若 $Z$ 不可分（即使在 Hilbert 情形 $Z=\ell_{2}(\Gamma)$ 且 $\Gamma$ 为不可数集），此类结果一般不成立。