希尔伯特空间中凸 Lipschitz 泛函的结构保持重构：从有限样本

凸泛函在应用分析中屡见不鲜，作为价值函数、风险度量、超对冲价格以及机器学习中的损失泛函出现。在许多应用中，该泛函仅通过有限个精确的点评估来观察。我们询问：希尔伯特空间 $H$ 上的凸泛函能否通过显式公式重构，以保持凸性和 Lipschitz 正则性，并在 $C$ 上达到任意均匀准确性？我们肯定回答了这个问题。对于每一个紧凑凸 $C\subseteq H$，每一个 $L$-Lipschitz 凸泛函 $\rho:C\to\mathbb{R}$，以及每一个 $\varepsilon>0$，我们构造一个显式的有限样本重构，其凸、$L$-Lipschitz，并在 $C$ 上均匀 $\varepsilon$-准确。该构造仅使用有限个线性测量 $\langle b,\cdot\rangle_H$，其中 $b$ 位于 $H$ 的有限维子空间中，并且正好由 $\operatorname{ReLU}$-MLP 实现。基于此，我们引入凸神经泛函 (CNF)，一种包含我们重构的结构可训练的架构类，其每个可接受的参数配置都自动为凸且 Lipschitz，为从有限数据学习凸泛函提供原则性基础。