关于Lipschitz连续凹函数集的正则抽象凸函数

本文的目标是研究一类特殊的-regularly ${\mathcal{H}}$-凸函数，其中${\mathcal{H}}$为定义在实赋范空间$X$上的实值Lipschitz连续经典凹函数之集${\mathcal{L}\widehat{C}}(X,{\mathbb{R}})$。对于扩展实值函数$f:X \mapsto \overline{\mathbb{R}}$为${\mathcal{L}\widehat{C}}$-凸的充要条件是$f$为下半连续且被某个Lipschitz连续函数从下方有界；此外，每个${\mathcal{L}\widehat{C}}$-凸函数亦为正则${\mathcal{L}\widehat{C}}$-凸的。我们聚焦于函数在给定点的${\mathcal{L}\widehat{C}}$-次可微性。我们证明了${\mathcal{L}\widehat{C}}$-凸函数在其有效定义域中${\mathcal{L}\widehat{C}}$-次可微的点集是稠密的。利用由在原点处取零值的此类Lipschitz连续凹函数构成的子集${\mathcal{L}\widehat{C}}_\theta \subset {\mathcal{L}\widehat{C}}$，我们引入了函数在一点处的${\mathcal{L}\widehat{C}}_\theta$-次梯度与${\mathcal{L}\widehat{C}}_\theta$-次微分的概念，其推广了经典凸分析中的相应概念。同时考虑了函数的抽象${\mathcal{L}\widecheck{C}}$-凹性与${\mathcal{L}\widecheck{C}}$-超可微性的对称概念，其中${\mathcal{L}\widecheck{C}}:= {\mathcal{L}\widecheck{C}}(X,{\mathbb{R}})$为Lipschitz连续凸函数之集。建立了${\mathcal{L}\widehat{C}}_\theta$-次微分的一些性质与简单演算规则，以及全局极值点处的${\mathcal{L}\widehat{C}}_\theta$-次微分条件。