上确界范数下凸函数的极小极大最优估计
统计理论
2013-06-11 v1 统计理论
摘要
凸函数估计在工程与科学中有着广泛应用，而凸形状约束给渐近性能分析带来了诸多挑战。本文致力于在形状约束非参数估计框架下，对 Hölder 类单变量凸函数进行极小极大最优估计。特别地，针对 Hölder 阶数介于 1 和 2 之间的凸函数，本文分两步建立了其上确界范数风险下的最优收敛速率。第一步，通过应用关于概率测度距离的信息论结果，我们在 Hölder 类中构造了一族 novel 的分段二次凸函数，从而建立了上确界范数下的极小极大下界。第二步，我们开发了一种惩罚凸样条估计量，并建立了上确界范数下的极小极大上界。由于凸形状约束的存在，惩罚凸样条的最优性条件由非光滑互补条件刻画。通过利用互补方法，我们建立了最优样条系数在无穷范数下的关键一致 Lipschitz 性质。该性质结合渐近估计技术，导出了在整个感兴趣区间上偏差和随机误差的一致界。通过选择合适的节点数和惩罚值，进一步得到了最优收敛速率。本文首次严格证明了上确界范数下凸估计的极小极大风险的最优性。
引用
@article{arxiv.1306.1866,
title = {Minimax Optimal Estimation of Convex Functions in the Supreme Norm},
author = {Teresa M. Lebair and Jinglai Shen and Xiao Wang},
journal= {arXiv preprint arXiv:1306.1866},
year = {2013}
}