关于局部凸空间上凸函数的全局形状

在近期论文 \cite{Aza:19} 中，D Azagra 研究了定义在 Banach 空间 $X$ 上的连续凸函数的全局形状。更确切地说，当 $X$ 可分时，证明了对于每一个连续凸函数 $f:X\rightarrow\mathbb{R}$，存在 $X$ 的唯一闭线性子空间 $Y$、具有如下性质的连续函数 $h:X/Y\rightarrow\mathbb{R}$：对所有 $u,v\in X/Y$, $v\neq0$ 有 $\lim_{t\rightarrow\infty}h(u+tv)=\infty$，以及 $x^{\ast}\in X^{\ast}$，使得 $f=h\circ\pi+x^{\ast}$，其中 $\pi :X\rightarrow X/Y$ 为自然投影。我们的目标是对定义在局部凸空间上的那些具有上述表示的正确下半连续凸函数进行刻画。特别地，我们表明可以从 Azagra 定理的假设中去掉函数 $f$ 的连续性与 $X$ 的完备性。