局部凸空间的 Gelfand-Phillips 性质

我们将 Banach 空间上著名的 Gelfand-Phillips 性质推广到局部凸空间，定义局部凸空间 $E$ 为 Gelfand-Phillips 空间，若 $E$ 中每个有限集（limited set）在由桶（barrels）定义的 $E$ 的拓扑中是预紧的。给出了 Gelfand-Phillips 空间的若干刻画。考虑了局部凸空间上标准运算保持 Gelfand-Phillips 性质的问题。我们还探讨了 Tychonoff 空间 $X$ 上连续函数空间 $C(X)$ 中的 Gelfand-Phillips 性质。若 $\tau$ 和 $\mathcal T$ 是 $C(X)$ 上的两个局部凸拓扑，满足 $\mathcal T_p\subseteq \tau\subseteq \mathcal T\subseteq \mathcal T_k$，其中 $\mathcal T_p$ 是逐点收敛拓扑，$\mathcal T_k$ 是 $C(X)$ 上的紧开拓扑，则函数空间 $(C(X),\tau)$ 的 Gelfand--Phillips 性质蕴含 $(C(X),\mathcal T)$ 的 Gelfand--Phillips 性质。若进一步 $X$ 是可度量的，则函数空间 $\big(C(X),\mathcal T\big)$ 是 Gelfand--Phillips 的。