使空间 $C_p(X)$ 为可区分空间的 $X$ 的刻画及其应用

我们证明，在 Tychonoff 空间 $X$ 上装备逐点收敛拓扑的连续实值函数局部凸空间 $C_{p}(X)$ 是可区分的，当且仅当 $X$ 是 \cite{Knight} 意义下的 $\Delta$-空间。作为该刻画定理的应用，我们得到以下结果：1) 若 $X$ 是 \v{C}ech 完备的（特别地，紧的）空间且 $C_p(X)$ 是可区分的，则 $X$ 是散布的。2) 对于每一 Isbell--Mr\'owka 型的的可分紧空间 $X$，空间 $C_p(X)$ 是可区分的。3) 若 $X$ 是序数的紧空间 $[0,\omega_1]$，则 $C_p(X)$ 不是可区分的。我们观察到，存在一个不可数的可分可度量化空间 $X$ 使得 $C_p(X)$ 是可区分的，这一事实独立于 ZFC。我们还探讨了 $\Delta$-空间类在基本拓扑运算下保持不变的程度。