使空间 $C_p(X)$ 为可区分空间的 $X$ 的基本性质

在我们的论文 [18] 中，我们证明了 Tychonoff 空间 $X$ 是 $\Delta$-空间（在 [20]、[30] 的意义下）当且仅当局部凸空间 $C_{p}(X)$ 是可区分的。延续这一研究，我们探究 $\Delta$-空间类 $\Delta$ 在基本拓扑运算下是否保持不变。我们证明：若 $X \in \Delta$ 且 $\varphi:X \to Y$ 是连续满射，使得对每个闭集 $F \subset X$，$\varphi(F)$ 是 $Y$ 中的 $F_{\sigma}$-集，则也有 $Y\in \Delta$。作为推论，若 $X$ 是闭子空间 $X_i$ 的可数并且每个 $X_i\in \Delta$，则也有 $X\in \Delta$。特别地，任意族散落 Eberlein 紧空间的积空间是 $\Delta$-空间，且 $\Delta$-空间与可数空间的积空间是 $\Delta$-空间。我们的结果回答了 \cite{KL} 中提出的若干开放问题。设 $T:C_p(X) \longrightarrow C_p(Y)$ 是连续线性满射。我们观察到 $T$ 可扩展为从 $R^X$ 到 $R^Y$ 上的线性连续算子 $\widehat{T}$，并推得当 $X$ 是 $\Delta$-空间时 $Y$ 也是。类似地，假设 $X$ 和 $Y$ 是可度量空间，我们证明当 $X$ 是 $Q$-集时 $Y$ 也是。利用所得结果，我们为“每个紧 $\Delta$-空间具有可数 tightness”这一断言提供了一个非常简短的证明。作为推论，在 Proper Forcing Axiom (PFA) 下每个紧 $\Delta$-空间是序列的。在本文中我们提出了十几个开放问题。