函数空间的 Dunford–Pettis 型性质与 Grothendieck 性质

对于 Tychonoff 空间 $X$，令 $C_k(X)$ 和 $C_p(X)$ 分别为赋予紧开拓扑和点态拓扑的 $X$ 上实值连续函数空间 $C(X)$。若 $X$ 是紧空间，A.~Grothendieck 的经典结果表明 $C_k(X)$ 具有 Dunford-Pettis 性质和序列 Dunford–Pettis 性质。我们将 Grothendieck 的结果推广，证明当 $X$ 满足以下条件之一时 $C_k(X)$ 同时具有 Dunford-Pettis 性质和序列 Dunford–Pettis 性质：(i) $X$ 是半紧空间，(ii) $X$ 是宇宙空间（=可分的度量空间的连续像），(iii) $X$ 是某个序数 $\kappa$ 的序数空间 $[0,\kappa)$，或 (vi) $X$ 是局部紧仿紧空间。我们证明若 $X$ 是宇宙空间，则 $C_k(X)$ 具有 Grothendieck 性质当且仅当 $X$ 的每个函数有界子集有限。我们证明对每个 Tychonoff 空间 $X$，$C_p(X)$ 具有 Dunford–Pettis 性质和序列 Dunford–Pettis 性质，且 $C_p(X)$ 具有 Grothendieck 性质当且仅当 $X$ 的每个函数有界子集有限。