$C_p$ 空间的 Josefson-Nissenzweig 性质

著名的 Rosenthal-Lacey 定理断言，对每个无限紧空间 $K$，Banach 空间 $C(K)$ 都容许一个商空间，该商空间或是 $c_{0}$ 的拷贝或是 $\ell_{2}$。本文旨在研究这一结果对于具有逐点拓扑的 $K$ 上连续实值映射空间 $C_{p}(K)$ 的一个自然变体。遵循著名的关于无限维 Banach 空间的 Josefson-Nissenzweig 定理，我们为 $C_{p}$ 空间引入一个相应的性质（称为 Josefson-Nissenzweig 性质，简称 JNP）。我们证明：对 Tychonoff 空间 $X$，空间 $C_p(X)$ 满足 JNP 当且仅当 $C_p(X)$ 有一个同构于 $c_{0}$（具有 $\mathbb R^\mathbb{N}$ 的积拓扑）的商空间，当且仅当 $C_{p}(X)$ 包含一个补子空间同构于 $c_0$。对伪紧空间 $X$，空间 $C_p(X)$ 具有 JNP 当且仅当 $C_p(X)$ 有一个可度量的无限维补子空间。由此可推出：对 Tychonoff 空间 $X$，空间 $C_p(X)$ 有一个同构于 $\mathbb R^{\mathbb N}$ 或 $c_0$ 的补子空间当且仅当 $X$ 不是伪紧的或 $C_p(X)$ 具有 JNP。空间 $C_{p}(\beta\mathbb{N})$ 包含一个同构于 $c_0$ 的子空间且容许一个同构于 $\ell_{\infty}$ 的商空间，但不具有同构于 $c_{0}$ 的商空间。我们构造了一个没有无限收敛序列的紧空间 $K$ 的例子，其 $C_{p}(K)$ 包含一个同构于 $c_{0}$ 的补子空间。