Josefson–Nissenzweig 定理与 $\omega$ 上的滤子

对于 $\omega$ 上的一个自由滤子 $F$，赋予空间 $N_F=\omega\cup\{p_F\}$（其中 $p_F\not\in\omega$）如下拓扑： $\omega$ 中每个元素都是孤立点，而 $p_F$ 的所有开邻域均为形如 $A\cup\{p_F\}$（$A\in F$）的集合。形如 $N_F$ 的空间构成了最简单非离散 Tychonoff 空间类。本文旨在从 Banach 空间理论的角度，在著名的 Josefson–Nissenzweig 定理背景下研究这类空间。我们证明，例如，对于一个滤子 $F$，空间 $N_F$ 承载一列归一化有限支撑带符号测度 $\langle\mu_n\colon n\in\omega\rangle$ 使得对 $N_F$ 上每个有界连续实值函数 $f$ 都有 $\mu_n(f)\to 0$，当且仅当 $F^*\le_K\mathcal{Z}$，即对偶理想 $F^*$ 在 Kat\v{e}tov 意义下低于渐近密度理想 $\mathcal{Z}$。由此我们得到：若 $F^*\le_K\mathcal{Z}$，则 (1) 若 $X$ 是 Tychonoff 空间且 $N_F$ 同胚于 $X$ 的一个子空间，则 $X$ 上有界连续实值函数空间 $C_p^*(X)$ 含有一个赋予逐点拓扑的 $c_0$ 空间的补子空间拷贝；(2) 若 $K$ 是紧 Hausdorff 空间且 $N_F$ 同胚于 $K$ 的一个子空间，则 $K$ 上连续实值函数的 Banach 空间 $C(K)$ 不是 Grothendieck 空间。后一结果推广了如下熟知事实：若紧 Hausdorff 空间 $K$ 含有一个非平凡收敛序列，则空间 $C(K)$ 不是 Grothendieck 空间。