可数自由集数空间与 PFA

本文的主要结果是：在 PFA 下，对于每一个满足 $F(X) = \omega$ 的{\em 正则}空间 $X$，我们有 $|X| \le w(X)^\omega$；特别地，若 $w(X) \le \mathfrak{c}$ 则蕴含 $|X| \le \mathfrak{c}$。这补充了众多先前的结果，那些结果给出了甚至紧 Hausdorff 空间 $X$ 满足 $F(X) = \omega$ 且 $w(X) = \mathfrak{c}$、$|X| = 2^\mathfrak{c}$ 的一致例子。我们还表明，该结果中的正则性不能削弱为 Hausdorff，因为在 ZFC 中可找到一个 Hausdorff 空间 $X$ 满足 $F(X) = \omega$ 且 $w(X) = \mathfrak{c}$、$|X| = 2^\mathfrak{c}$。事实上，此空间 $X$ 具有{\em 强反 Urysohn}(SAU) 性质，即 $X$ 中任意两个无穷闭集都相交，这比 $F(X) = \omega$ 强得多。而且，$X$ 中任一非空开集也具有基数 $2^\mathfrak{c}$，从而通过在 ZFC 中给出一个无孤立点的 SAU 空间回答了 \cite{JShSSz} 的主要问题之一。