强刚性可数（半）Hausdorff 空间的例子

拓扑空间 $X$ 是 $strongly$ $rigid$（强刚性）的，若每个非常数连续映射 $f:X\to X$ 均为 $X$ 的恒等映射。Hausdorff 拓扑空间 $X$ 称为 $Brown$，若对任意非空开集 $U,V\subseteq X$，交 $\bar U\cap\bar V$ 是无限的。我们证明每个第二可数 Brown Hausdorff 空间 $X$ 容许更强拓扑 $\tau'$，使得 $X'=(X,\tau')$ 为强刚性反紧 Brown 空间。该构造给出一可数反紧 Hausdorff 空间 $X$ 为强刚性的例子，解答了 MathOverflow 上提出的两个问题。用同一方法我们构造一强刚性 $k_2$-可度量半 Hausdorff 空间，含一非闭紧子集，解答了 MathOverflow 上另两个问题。