$F$-空间的扩展及其应用

完全正规 Hausdorff 空间 $X$ 若满足：其任意两个不相交的 cozero-set 可被两个不相交的 $Z^{\circ}$-set 分开，则称为 $WCF$-空间。$WCF$-空间的类包含了 $F$-空间类和 cozero-complemented 空间类的，且严格包含两者。我们证明：若 $Y$ 为空间 $X$ 中稠密的 $z$-嵌入子集，则 $Y$ 为 $WCF$-空间当且仅当 $X$ 为 $WCF$-空间。作为推论，完全正规 Hausdorff 空间 $X$ 为 $WCF$-空间当且仅当 $\beta X$ 为 $WCF$-空间当且仅当 $\upsilon X$ 为 $WCF$-空间。随后，我们利用这一概念引入 $PW$-环和 $UPW$-环的概念。若环 $R$ 中任取 $a, b \in R$ 且 $aR \cap bR = 0$，则称环 $R$ 为 $PW$-环 (或 $UPW$-环)，若 $\Ann(a)+\Ann(b)$ 包含正元素 (或单位元)。我们证明：$C(X)$ 为 $PW$-环当且仅当 $X$ 为 $WCF$-空间当且仅当 $C^{*}(X)$ 为 $PW$-环。此外，对于具有有界逆的约简 $f$-环 $R$，我们证明其格 $BZ^{\circ}(R)$ 为共正当当且仅当 $R$ 为 $PW$-环。我们提供了若干例子以阐明和界定我们的结果。