拓扑空间的非乌雷松数

若拓扑空间 $X$ 的非空子集 $A$ 满足：对 $A$ 的任意非空有限子集 $F$ 及 $F$ 中各点 $x$ 的任意开邻域族 $\{U_x:x\in F\}$，均有 $\cap\{\mathrm{cl}(U_x):x\in F\}\ne\emptyset$，则称 $A$ 为有限非乌雷松集；并定义 $X$ 的非乌雷松数为：$nu(X):=1+\sup\{|A|:A$ 是 $X$ 的有限非乌雷松子集$\}$。于是，对任意拓扑空间 $X$ 及其任意子集 $A$，我们证明以下不等式：(1) $|\mathrm{cl}_\theta(A)|\le |A|^{\kappa(X)}\cdot nu(X)$，(2) $|[A]_\theta|\le (|A|\cdot nu(X))^{\kappa(X)}$，(3) $|X|\le nu(X)^{\kappa(X)sL_\theta(X)}$，以及 (4) $|X|\le nu(X)^{\kappa(X)aL(X)}$。1979 年，A. V. Arhangelskii 提出疑问：不等式 $|X|\le 2^{\chi(X)wL_c(X)}$ 是否对每个 Hausdorff 空间 $X$ 都成立？由第三个不等式可知，对于所有满足 $nu(X)$ 不大于连续统势的空间，该问题的答案是肯定的。我们还给出了一个 Hausdorff 空间 $X$ 的简单例子，使得 $|\mathrm{cl}_\theta(A)|>|A|^{\chi(X)}U(X)$ 且 $|\mathrm{cl}_\theta(A)|>(|A|\cdot U(X))^{\chi(X)}$，其中 $U(X)$ 是 Bonanzinga、Cammaroto 和 Matveev 最近引入的乌雷松数。该例子表明，在上述 (1) 和 (2) 中，$nu(X)$ 不能被 $U(X)$ 替代，并回答了 Bella 和 Cammaroto (1988)、Bonanzinga、Cammaroto 和 Matveev (2011) 以及 Bonanzinga 和 Pansera (2012) 提出的一些问题。