拓扑空间及其 $G_\delta$ 修正的自由集数

对拓扑空间 $X$，我们提议称子集 $S \subset X$ 为“在 $X$ 中自由”，若其允许一个良序使之成为 $X$ 中的自由序列。熟知的基数函数 $F(X)$ 即可定义为 $\sup\{|S| : S \text{ 在 } X \text{ 中自由}\}$，并称为 $X$ 的自由集数。我们证明了若干涉及 $F(X)$ 与 $F(X_\delta)$ 的新不等式，其中 $X_\delta$ 为 $X$ 的 $G_{\delta}$-修正：$T_2$ 空间有 $L(X) \le 2^{2^{F(X)}}$，而 $T_3$ 空间有 $L(X)\le 2^{F(X)}$；对任意 $T_2$ 空间 $X$ 有 $|X|\le 2^{2^{F(X) \cdot \psi_c(X)}} \le 2^{2^{F(X) \cdot \chi(X)}}$；$T_2$ 空间有 $F(X_{\delta})\le 2^{2^{2^{F(X)}}}$，而 $T_3$ 空间有 $F(X_{\delta})\le 2^{2^{F(X)}}$。