Noetherian 性质、大基数与 $\aleph_{\omega}$ 周围的独立性

拓扑空间的基称为 Noetherian，当且仅当它不包含无限严格 $\subseteq$-递增链。我们证明了没有 Noetherian 基的正则空间的最小基数是第一个强不可达基数，回答了一个 1980 年代的问题。我们还研究拓扑空间 $X$ 的 Noetherian 型，记为 $Nt(X)$，定义为使得 $X$ 有一个基 $\mathcal B$ 满足对每个 $B\in\mathcal B$，$|\{B'\in\mathcal B: B\subset B'\}|<\kappa$ 的最小基数 $\kappa$。Milovich 和 Spadaro 研究了 $G_\delta$-修正下 Noetherian 型的行为。他们提出的一个核心问题是：空间 $D(2)^{\aleph_\omega}$ 的 $G_\delta$-修正的 Noetherian 型是否为 $\omega_1$。该命题记为 (Nt)，已知在 ZFC + GCH 下是独立的：它在 'GCH + $\square_{\aleph_\omega}$' 下成立，但在 'GCH + $(\aleph_{\omega+1}, \aleph_\omega)\to(\aleph_1, \aleph_0)$' 下不成立。我们通过为若干拓扑和组合原理识别类似的独立性现象，将这一现象置于更广泛的语境中。这些包括：(wFN) $[\aleph_\omega]^\omega$ 的弱 Freese-Nation 性质；(SAT) $[\aleph_\omega]^\omega$ 中存在饱和 MAD 族；(HnT) 在 $\aleph_\omega$ 上存在 $\omega$-齐次但非 $\omega$-传递的置换群；以及 (SPL) 基数为 $\aleph_{\omega+1}$ 的可数紧、局部可数且 $\omega$-公平的正则空间的存在性。假设 GCH，我们分析了这些原理之间的逻辑关系，并证明例如 SPL 蕴含 wFN，而 wFN 进一步蕴含 SAT、HnT 和 Nt，但 SAT 不蕴含 Nt。