拓扑、度量空间与广义连续统假设

本文旨在从贝尔范畴的角度解释集合的基数，即从一个集合中删去多少个无处稠密的闭集会使该集合本身变得可忽略。为此引入了贝尔拓扑等自然的树论结构，并将贝尔范畴定理推广为如下陈述：对于具有基数 $\aleph$ 的闭开基且无孤立点或离散点的豪斯多夫拓扑空间，其 $\aleph$-序列完备的二叉树表示不是 $<\aleph+1$ 个无处稠密子集的并，其中基数 $\aleph\ge\aleph_{0}$，而 $\aleph$-序列完备拓扑空间是指这样一个空间，其中每个函数 $f:\aleph\rightarrow\{0.1\}$ 都满足 $(\forall x)(x\in f\rightarrow x\in\in X)\rightarrow(f\in X)$。我们证明，若 $\aleph<\left|X\right|\le2^{\aleph}$，其中 $\left|X\right|$ 为集合 $X$ 的基数，则可通过删去一个由 $\aleph$ 个特殊选定的闭开集构成的稠密序列来迫使 $\left|X\right|-\aleph\times\left|X\right|\ne\emptyset$，而若删去任意 $\aleph+1$ 个闭开集的稠密序列则有 $\left|X\right|-(\aleph+1)\times\left|X\right|=\emptyset$。这给出了基数的一个另类定义：为迫使余集为空而需从集合中删去的基闭开集（实为区间）的数目。这一另类基数定义与广义连续统假设一致且可由其推出，我们通过给出两个集合论模型来展示这一点，一个是外（模态）模型，另一个是带有信息最小化原理的内广义度量模型。