基于 Borel 与 Baire 代数的低阶分离公理

设 $\kappa$ 为无穷正则基数。我们定义一个拓扑空间 $X$ 为 $T_{\kappa-Borel}$-空间（相应地，$T_{\kappa-BP}$-空间），如果对于每个 $x\in X$，单点集 $\{x\}$ 属于 $X$ 的子集所构成的最小 $\kappa$-可加代数，该代数包含 $X$ 中的所有开集（以及所有无处稠密集）。每个 $T_1$-空间都是 $T_{\kappa-Borel}$-空间，且每个 $T_{\kappa-Borel}$-空间都是 $T_0$-空间。另一方面，$T_{\kappa-BP}$-空间未必是 $T_0$-空间。我们证明，一个拓扑空间 $X$ 是 $T_{\kappa-Borel}$-空间（相应地，$T_{\kappa-BP}$-空间）当且仅当对于每个点 $x\in X$，单点集 $\{x\}$ 是 $X$ 中一个闭集与一个 $G_{<\kappa}$-集的交集（相应地，$\{x\}$ 要么是无处稠密集，要么是 $X$ 中的一个 $G_{<\kappa}$-集）。我们还给出了简单的例子，用以区分针对各种无穷基数 $\kappa$ 的分离公理 $T_{\kappa-Borel}$ 和 $T_{\kappa-BP}$，并将这些公理与若干已知概念联系起来，从而得到一个相当规整的低阶分离公理二维图示。