关于广义 Baire 空间与不可数基数初等嵌入性的二分法定理

我们考虑 $\kappa$ 的广义 Baire 空间的解析子集上的 $\Sigma^0_2$ 有限元关系 $R$ 的以下二分法：要么所有 $R$-独立集的大小至多为 $\kappa$，要么存在一个 $\kappa$-完美 $R$-独立集。此二分法是 (W. Kubi\'s, Proc. Amer. Math. Soc. 131 (2003), no 2.:619--623) 和 (S. Shelah, Fund. Math. 159 (1999), no. 1:1--50) 中结果在不可数情形下的版本。我们证明了在假设 $\Diamond_\kappa$ 和集合论假设 $I^-(\kappa)$ 下上述命题成立，其中 $I^-(\kappa)$ 是适用于极限基数的假设 $I(\kappa)$ 的修改版。当 $\kappa$ 是不可达的，或者当 $R$ 是闭二元关系时，不需要假设 $\Diamond_\kappa$。作为推论，我们得到了 G. S\'agi 和第一作者 (Log. J. IGPL 20 (2012), no. 6:1064--1082) 关于 $\Sigma^1_1(L_{\kappa^+\kappa})$-句子的 $\kappa$-大小模型在同构或初等嵌入下（通过 ${}^\kappa\kappa$ 的 $K_\kappa$ 子集的元素）的结果在不可数情形下的版本。初等嵌入的作用可以被一个更一般的概念所替代，该概念也包括嵌入，以及保持 $\omega\leq\mu\leq\lambda\leq\kappa$ 的 $L_{\lambda\mu}$ 的映射和这些逻辑的有穷变元片段。