范畴-测度对偶性：凸性、中点凸性与 Berz 次线性

范畴-测度对偶性涉及具有测度论类似物的 Baire 范畴方法的应用。与 Baire 范畴定理相关的集合论公理是依赖选择公理 DC，而非选择公理 AC。Berz 利用有理数域 $\mathbb{Q}$ 上的 Hahn-Banach 定理证明了：一个可测且 $\mathbb{Q}_{+}$-齐次的次线性函数的图像由两条穿过原点的半直线组成。我们给出了 Berz 定理的范畴形式。我们的证明比经典的测度论 Berz 定理更简单，我们的结果包含了 Berz 定理，而不仅仅是其类似物，并且我们只使用了 DC 而非 AC。此外，该范畴形式易于推广：定义在 Banach 空间上的 Baire 次线性函数的图像是一个锥。这些结果被视为具有自动连续性类型。我们使用 Christensen Haar 零集将范畴方法扩展到存在 Haar 测度的局部紧致设定之外。我们将 Berz 的结果从欧几里得空间推广到 Banach 空间乃至更广的范围。从次线性过渡到凸性，我们推广了 Bernstein-Doetsch 定理及相关的连续性结果，允许我们的条件是“局部的”——即在某个例外集之外成立。