梯系统上的 Diamond 性质与可数亚紧拓扑空间

拓扑空间的可数亚紧性之所以重要，源于 Dowker 1951 年的定理：正规空间 X 与单位区间的乘积仍为正规，当且仅当 X 是可数亚紧的。在最近的一篇论文中，Leiderman 与 Szeptycki 研究了 $\Delta$-空间，它是可数亚紧空间类的一个子类。他们证明了一个 Cohen 实数引入了一个定义于第一个不可数基数上的梯系统 $L$，使得相应空间 $X_L$ 不是 $\Delta$-空间，并问是否存在 ZFC 意义下某个基数 $\kappa$ 上的梯系统 $L$ 使得 $X_L$ 不是可数亚紧的，特别地不是 $\Delta$-空间的例子。我们证明肯定答案对基数 $\kappa=cf(\beth_{\omega+1})$ 成立。假设 $\beth_\omega=\aleph_\omega$，我们在低得多的基数处得到例子，即 $\kappa=2^{2^{2^{\aleph_0}}}$，并且我们的梯系统 $L$ 还是 $\omega$-有界的。