通过同时标记有理端点闭区间扩展 $\mathbb{Q}$ 构造的 $\mathbb{R}$ 的可数、稠密、Dedekind完备子集

本文探讨集合基数的模型依赖性，强调基数并非绝对，而是随不同公理化框架而变化。尽管康托尔对角论证在 ZF（策梅洛-弗兰克尔集合论）内表明实数是不可数的，连续统的精确基数仍悬而未决且关键依赖于模型假设。例如，在 Gödel 内模型公理 V=Ultimate L 下，连续统假设（CH）成立，而 Martin 公理则蕴含其否定。Löwenheim-Skolem 定理通过证明任何容许不可数模型的一阶理论也必容许可数模型，进一步说明了这种相对性，凸显即便“可数”与“不可数”的概念也是本质上面向模型相对的。为具体考察这些问题，我们构造两个具有通常仅归属于连续统之性质的可数集。首先，在 ZFC（ZF 加选择公理）内，由所有有理端点的闭区间构造可数集 $S_m$。通过向每个区间同时指派无理标记并尊重嵌套区间结构，我们得到一个处处稠密且 Dedekind 完备却可数的集合。接着，我们在 Wang 的 $\Sigma$-模型内通过无限对角化在有理数间系统插入无理数显式构造类似集合，从而得到实数的构造性枚举。这些发现辨识出非可数性经典证明与嵌套区间性质之间的基础性张力，促使在形式集合论内对基数与 CH 的重新评估。