集合论的每个可数模型均嵌入其自身的可构成宇宙

本文的主要定理是，集合论的每个可数模型 M，包括每个良基模型，均同构于其自身可构成宇宙的一个子模型。换言之，存在一个嵌入 $j:M\to L^M$，它对无量词断言是初等的。证明使用了通用有向图组合学，包括可数随机有向图的无环版本（我称之为可数随机 Q-分级有向图），以及作为不可数 Fraisse 极限出现的高阶类似物，进而导出催眠有向图——一个集合齐性、类通用、超实数分级的无环类有向图，与超实数密切相关。证明表明 $L^M$ 包含一个子模型，它是秩为 $Ord^M$ 的通用无环有向图。该证明方法还确立了集合论的可数模型按可嵌入性是线性预序的：对于任意两个集合论的可数模型，其中一个同构于另一个的子模型。事实上，它们按可嵌入性是以恰好 $\omega_1+1$ 的序型被预良序的。具体而言，可数良基模型按可嵌入性根据其序数高度排序；每个较短的模型嵌入每个较高的模型；集合论的每个模型 M 对所有秩至多为 $Ord^M$ 的可数良基二元关系是通用的；并且集合论的每个非良基模型对所有可数无环二元关系是通用的。最后，作为对 Ressayre 经典定理的强化，同样的证明方法表明，如果 M 是 PA 的任意非标准模型，那么集合论的每个可数模型——特别是 ZFC 的每个模型——均同构于 M 的遗传有限集合 $HF^M$ 的一个子模型。事实上，$HF^M$ 对所有可数无环二元关系是通用的。