二阶集合论模型的构造

本学位论文是对近年来复兴的二阶集合论项目的贡献。其方法是通过研究二阶集合论模型的构造来理解二阶集合论。主要结果如下，按章节组织。首先，我研究了固定可数 $\mathsf{ZFC}$ 模型的 $T$-实现偏序集，其中 $T$ 是如 $\mathsf{GBC}$ 或 $\mathsf{KM}$ 这样的合理二阶集合论，表明它具有丰富的结构。特别地，每个可数偏序集都嵌入到该结构中。此外，我们可以安排这些嵌入保持上界存在/不存在性，至少对有限偏序集如此。其次，我将 Marek 和 Mostowski 从 $\mathsf{KM}$ 到较弱理论的一些构造进行了推广。他们证明了每个 $\mathsf{KM}$ 加上类收集模式（Class Collection schema）的模型“展开”为一个具有最大基数的 $\mathsf{ZFC}^-$ 模型。我计算了一系列二阶集合论展开的理论，弱至 $\mathsf{GBC} + \mathsf{ETR}$。我还证明了对于广泛的二阶集合论 $T$，$T$-可实现性下降到子模型。第三，我证明了存在一条从 $\mathsf{GBC}$ 到 $\mathsf{KM}$ 强度递增的超限递归原则谱系。该谱系首先按递归中所允许性质的复杂度排序，其次按递归所允许的高度排序。第四，我研究了哪些二阶集合论具有最小模型的问题。我证明了强理论——如 $\mathsf{KM}$ 或 $\Pi^1_1\text{-}\mathsf{CA}$——没有最小传递模型，而较弱理论——从 $\mathsf{GBC}$ 到 $\mathsf{GBC} + \mathsf{ETR}_\mathrm{Ord}$——确有最小传递模型。