集合论内模型中实数集的复杂性

可构造实数集的通常定义是 $\Sigma ^1_2$ 的。若该集可数或每个实数均可构造，则它可有更简单的定义。H. Friedman 曾问：可构造实数集能否以非平凡方式是解析的甚至 Borel 的。K. Prikry 提出一个相关问题：能否存在一个由可构造实数组成的非可构造的完美集？本文的主要结果对 Friedman 的问题给出否定回答。事实上我们证明：若 $M$ 是集合论的内模型，且 $M$ 中的实数集是解析的，则要么所有实数都在 $M$ 中，要么 $\aleph _1^M$ 可数。在适当的大基数假设下，我们将此结果推广到射影层次结构的高层。关于 Prikry 的问题，我们证明若将“完美”换为“超完美”则答案为否定，但若将“可构造”换为“属于某个内模型 $M$”则答案可为肯定。