使得 $F_4(X)$ 为 Fr\'echet-Urysohn 的可度量化空间 $X$ 的刻画

设 $F(X)$ 为 Tychonoff 空间 $X$ 上的自由拓扑群。对所有自然数 $n$，记 $F_n(X)$ 为 $F(X)$ 中由所有化简长度 $\leq n$ 的词组成的子集。在 \cite{Y3} 中，作者给出了可度量化空间 $X$ 使 $F_3(X)$ 为 Fr\'echet-Urysohn，以及使 $n\geq5$ 时 $F_n(X)$ 为 Fr\'echet-Urysohn 的等价条件。然而，对 $n=4$ 时 $X$ 的等价条件未曾给出。本文给出该等价条件。事实上，我们证明对可度量化空间 $X$，若 $X$ 的所有非孤立点之集为紧集，则 $F_4(X)$ 为 Fr\'echet-Urysohn。由此，对可度量化空间 $X$，$F_3(X)$ 为 Fr\'echet-Urysohn 当且仅当 $F_4(X)$ 为 Fr\'echet-Urysohn。